Период развития элементарной математики делят на два этапа: развитие геометрии (до II (V) в н.э.) и развитие алгебры (до XVII в н.э.). Развитие геометрии в первую очередь связано с работой греческих ученых, а развитие алгебры – арабских, индийских и среднеазиатских.
Основные достижения в рамках алгебры и арифметики следующие:
- создание современной (десятичной) системы исчисления (Индия);
- открытие и использование отрицательных чисел (Индия);
- открытие и работа с иррациональными числами без привлечения геометрии (Индия);
- формирование алгебры (Омар Хаям, аль Хорезми, Тусе);
- извлечение корней и другие операции;
- тригонометрия.
Где-то с XII века знания арабского мира начинают проникать в Европу, и начинается европейский период развития математики. К XVII веку полностью сформированы: арифметика,
элементарная геометрия, элементарная алгебра, тригонометрия. С XVI века европейские ученые начинают заниматься исследованием движения – это становится центральной задачей естествознания.
Важным является понятие переменной величины и функции, которые стали продуктом обобщения изменяющихся величин и их зависимостей друг от друга. Под переменной величиной понимают какую-либо физическую величину (скорость, время, путь, сила тока и т.п.), а функция устанавливает зависимость между ними, например зависимость длинны пути от времени.
Принцип обобщения при работе с переменными величинами можно показать на таком примере:
- зависимость скорости от пройденного пути за заданное время описывается формулой: v=s/t;
- зависимость величины силы тока от напряжения определяется согласно закону Ома: I=U/R.
Обе эти зависимости можно представить так: y = kx, y = f(x), где k в первом случае равно 1/t, во втором – 1/R.
В физике работа осуществляется с конкретными физическими величинами (путь, сила тока), в математике же оперируют абстрактными понятиями.
Ещё большим уровнем абстракции является понятие функции как таковой, без описания её внутреннего содержания, в таком случае функцию обозначают так y = f(x).
Раздел математики изучающий зависимость одной величины от другой без акцента на вид этой зависимости называется анализ. Анализ очень активно начал развиваться с XVII века. В это время появилась аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические свойства фигуры через анализ алгебраического выражения, которым эта фигура описывается.
Чуть позже появляется дифференциальное и интегральное исчисление. Основными задачами геометрии, решение которых стимулировало развитие указанных выше областей, были: задача проведения касательной к кривой в точке и вычисление площадей фигур произвольной формы. В рамках физики – это определения скорости по известной зависимости пути от времени и обратная к ней задача. Математический анализ фактически появился в результате сплава алгебры и теории предела функции. В дальнейшем он нашел широкое применение во всех областях математики.
- Математика её содержание, методы и значение. Том первый. / Под ред. А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева. – М.: Издательство Академии наук СССР, 1956
