В развитии геометрии и арифметики очень много общего. Как мы помним, в арифметике, по началу число не отделялось от предмета, что объясняет существование отдельных чисел для счета коров, людей и т.п. В геометрии же, на заре её развития, форма не отделялась от предмета (круг, квадрат и т.п.). Разграничение произошло немного позже.
Геометрические величины, которые мы используем – длинна, площадь и прочие возникли из практической необходимости.
В древности как геометрия, так и арифметика были набором правил для решения тех или иных задач, без теорем, и тем более без доказательств.
Предметом геометрии являются пространственные формы и их отношения.
Взаимное проникновение различных разделов науки друг в друга двигает её вперед. Так произошло с арифметикой и геометрией. Ключевым здесь является процесс измерения, который фактически соединяет эти две ветви математики. При измерении мы откладываем (это геометрия) и считаем (а это уже арифметика). Самым простым примером измерения является измерение длинны.
В процессе измерения стали возникать ситуации, когда невозможно на заданном отрезке уложить целое количество элементов единичной длинны, что привело к появлению дробей. Таким образом взаимодействие арифметики и геометрии расширило понятие числа от целого числа до дробного (рационального). Следующим шагом стало открытие несоизмеримых отрезков, что дало толчок рождению иррациональных чисел. Целые числа, рациональные и иррациональные составляют так называемые действительные числа. Об этих числах Ньютон сказал следующее [1]: “Под числом мы понимаем не сколько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение какого-либо числа к другому, принятому за единицу”.
Как видно из вышеизложенного новые числа не появлялись в результате каких-либо теоретических изысканий, они были созданы для решения конкретных практических задач.
Можно смело сказать, что взаимодействие арифметики и геометрии породило понятие действительного числа.
- Математика её содержание, методы и значение. Том первый. / Под ред. А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева. – М.: Издательство Академии наук СССР, 1956
