Эта статья является первой из цикла статей, посвященных осмыслению книги “Математика ее содержание, методы и значение” под редакцией А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева, 1956 г. Изложение будет в форме конспекта с основными мыслями и тезисами.
Арифметика.
Если брать развитие математики в исторической перспективе, то появление новых чисел диктуется практической необходимостью. Например, в некоторых африканских племенах ряд чисел выглядел так: 1, 2, «много». То есть существует только три сущности для обозначения количества чего-либо. Такие племена не делают запасов, в их собственности нет большого числа голов скота и им не нужно вести учет урожая зерна, они живут «сегодняшним днем». Если же все выше перечисленные работы проводить нужно, то возникает необходимость в увеличении количества цифр.
В своем развитии, на первом этапе числа были неотъемлемой частью совокупности предметов. Например, пять овец и пять деревьев – это “разные” пятерки. То есть существовали определенные числа для счета определенных предметов. На втором этапе числа отделяются от предметов, но при этом, не становятся полностью самостоятельными. Счет ведется в соответствии с каким-то эталоном, например: коров столько же сколько пальцев на руке. На третьем этапе числа приобретают полную независимость от предметов, и становятся абстрактными.
Арифметика непосредственно сосредотачивает свое внимание на системе чисел с ее связями и законами. Арифметика – это наука о реальных количественных отношениях, рассматриваемых, однако, отвлеченно, в чистом виде [1].
Числа, которыми пользуемся мы, называются арабскими, хотя на самом деле изначально они появились в Индии, и в X веке были занесены арабами в Европу. Особенности нашей системы чисел:
- она десятичная;
- она позиционная;
- в ней есть ноль.
Поначалу развитие арифметики было связано только с практикой. Уже 2000 лет до н.э. Вавилон и Египет решали задачи, которые можно назвать алгебраическими.
К III веку до н.э. у Греков сложилось следующее понимание:
- ряд чисел можно продолжать бесконечно;
- можно рассуждать о числах вообще.
Последнее утверждение фактически дает почву для формирования теорем и задач. Новые понятия в математике рождаются через обобщения предыдущих знаний и накопленный опыт. Возможность применения теории исходит из того, насколько большой опыт в ней обобщен. Движущая сила всего этого – практика.
