Линейная алгебра на Python. [Урок 1]. Создание Матрицы. Общие понятия

Автор: | 17.03.2019

Эта статья открывает список уроков на тему “Линейная алгебра с примерами на Python. Мы постараемся рассказать о базовых понятиях  линейной алгебры, которые могут быть полезны тем, кто занимается машинным обучением и анализом данных, и будем сопровождать все это примерами на языке Python.

Матрицы

Матрицей в математике называют объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, элементами которой являются числа (могут быть как действительные, так и комплексные). Пример матрицы приведен ниже.

\(M\;=\;\begin{pmatrix}1&3&5\\7&2&4\end{pmatrix}\)

В общем виде матрица записывается так:

\(M=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\…&…&…&…\\a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\end{pmatrix}\)

Представленная выше матрица состоит из i-строк и j-столбцов. Каждый ее элемент имеет соответствующее позиционное обозначение, определяемое номером строки и столбца на пересечении которых он расположен: \(a_{ij}\)- находится на i-ой строке и j-м столбце.

Важным элементом матрицы является главная диагональ, ее составляют элементы, у которых совпадают номера строк и столбцов.

Виды матриц и способы их создания в Python

Матрица в Python – это двумерный массив, поэтому задание матриц того или иного вида предполагает создание соответствующего массива. Для работы с массивами в Python используется тип данных список (англ. list). Но с точки зрения представления матриц и проведения вычислений с ними списки – не очень удобный инструмент, для этих целей хорошо подходит библиотека Numpy, ее мы и будем использовать в дальнейшей работе.

Напомним, для того, чтобы использовать библиотеку Numpy ее нужно предварительно установить, после этого можно импортировать в свой проект. По установке Numpy можно подробно прочитать в разделе “Установка библиотеки Numpy” из введения. Для того чтобы импортировать данный модуль, добавьте в самое начало программы следующую строку

import numpy as np

Если после импорта не было сообщений об ошибке, то значит все прошло удачно и можно начинать работу. Numpy содержит большое количество функций для работы с матрицами, которые мы будем активно использовать. Обязательно убедитесь в том, что библиотека установлена и импортируется в проект без ошибок.

Рассмотрим, различные варианты матриц и способы их задания в Python.

Вектор

Вектором называется матрица, у которой есть только один столбец или одна строка. Более подробно свойства векторов, их геометрическая интерпретация и операции над ними будут рассмотрены в “Главе 2 Векторная алгебра”.

Вектор-строка

Вектор-строка имеет следующую математическую запись.

\(v=(1\;2)\)

Такой вектор в Python можно задать следующим образом.

>>> v_hor_np = np.array([1, 2])
>>> print(v_hor_np )
[1 2]

Если необходимо создать нулевой или единичный вектор, то есть вектор, у которого все элементы нули либо единицы, то можно использовать специальные функции из библиотеки Numpy.

Создадим нулевую вектор-строку размера 5.

>>> v_hor_zeros_v1 = np.zeros((5,))
>>> print(v_hor_zeros_v1 )
[0. 0. 0. 0. 0.]

В случае, если требуется построить вектор-строку так, чтобы она сама являлась элементом какого-то массива, это нужно для возможности транспонирования матрицы (см. раздел “1.3 Транспонирование матрицы”), то данную задачу можно решить так.

>>> v_hor_zeros_v2 = np.zeros((1, 5))
>>> print(v_hor_zeros_v2 )
[[0. 0. 0. 0. 0.]]

Построим единичную вектор-строку в обоих из представленных для нулевого вектора-строки форм.

>>> v_hor_one_v1 = np.ones((5,))
>>> print(v_hor_one_v1)
[1. 1. 1. 1. 1.]
>>> v_hor_one_v2 = np.ones((1, 5))
>>> print(v_hor_one_v2)
[[1. 1. 1. 1. 1.]]

Вектор-столбец

Вектор-столбец имеет следующую математическую запись.

\(v=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)

В общем виде вектор столбец можно задать следующим образом.

>>> v_vert_np = np.array([[1], [2]])
>>> print(v_vert_np)
[[1]
[2]]

Рассмотрим способы создания нулевых и единичных векторов-столбцов. Построим нулевой вектор-столбец.

>>> v_vert_zeros = np.zeros((5, 1))
>>> print(v_vert_zeros)
[[0.]
[0.]
[0.]
[0.]
[0.]]

Единичный вектор-столбец можно создать с помощью функции ones().

>>> v_vert_ones = np.ones((5, 1))
>>> print(v_vert_ones)
[[1.]
[1.]
[1.]
[1.]
[1.]]

Квадратная матрица

Довольно часто, на практике, приходится работать с квадратными матрицами. Квадратной называется матрица, у которой количество столбцов и строк совпадает. В общем виде они выглядят так.

\(Msqr=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\…&…&…&…\\a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nn}\end{pmatrix}\)

Создадим следующую матрицу.

\(Msqr=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)

В Numpy можно создать квадратную матрицу с помощью метода array().

>>> m_sqr_arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
>>> print(m_sqr_arr)
[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]

Как вы уже наверное заметили, аргументом функции np.array() является список Python, его можно создать отдельно и передать в функцию.

>>> m_sqr = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
>>> m_sqr_arr = np.array(m_sqr)
>>> print(m_sqr_arr)
[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]

Но в Numpy есть еще одни способ создания матриц – это построение объекта типа matrix с помощью одноименного метода. Задать матрицу можно в виде списка.

>>> m_sqr_mx = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
>>> print(m_sqr_mx)
[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]

Также доступен стиль Matlab, когда между элементами ставятся пробелы, а строки разделяются точкой с запятой, при этом такое описание должно быть передано в виде строки.

>>> m_sqr_mx = np.matrix('1 2 3; 4 5 6; 7 8 9')
>>> print(m_sqr_mx)
[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]

Диагональная матрица

Особым видом квадратной матрицы является диагональная – это такая матрица, у которой все элементы, кроме тех, что расположены на главной диагонали, равны нулю.

\(Mdiag=\begin{pmatrix}a_{11}&0&…&0\\0&a_{22}&…&0\\…&…&…&…\\0&0&…&a_{nn}\end{pmatrix}\)

Диагональную матрицу можно построить вручную, задав только значения элементам на главной диагонали.

>>> m_diag = [[1, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 9]]
>>> m_diag_np = np.matrix(m_diag)
>>> print(m_diag_np)
[[1 0 0]
[0 5 0]
[0 0 9]]

Библиотека Numpy предоставляет инструменты, которые могут упростить построение такой матрицы.

Первый вариант подойдет в том случае, если у вас уже есть матрица, и вы хотите сделать из нее диагональную. Создадим матрицу размера 3 3.

>>> m_sqr_mx = np.matrix('1 2 3; 4 5 6; 7 8 9')

Извлечем ее главную диагональ.

>>> diag = np.diag(m_sqr_mx)
>>> print(diag)
[1 5 9]

Построим диагональную матрицу на базе полученной диагонали.

>>> m_diag_np = np.diag(np.diag(m_sqr_mx))
>>> print(m_diag_np)
[[1 0 0]
[0 5 0]
[0 0 9]]

Второй вариант подразумевает построение единичной матрицы, ей будет посвящен следующий параграф.

Единичная матрица

Единичной матрицей называют такую квадратную матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единицы, а все остальные нулю.

\(E=\begin{pmatrix}1&0&…&0\\0&1&…&0\\…&…&…&…\\0&0&…&1\end{pmatrix}\)

Создадим единичную матрицу на базе списка, который передадим в качестве аргумента функции matrix().

>>> m_e = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]
>>> m_e_np = np.matrix(m_e)
>>> print(m_e_np)
[[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]]

Такой способ не очень удобен, к счастью для нас, для построения такого типа матриц в библиотеке Numpy есть специальная функция – eye().

>>> m_eye = np.eye(3)
>>> print(m_eye)
[[ 1.  0. 0.]
[ 0.  1. 0.]
[ 0.  0. 1.]]

В качестве аргумента функции передается размерность матрицы, в нашем примере – это матрица 3 3. Тот же результат можно получить с помощью функции identity().

>>> m_idnt = np.identity(3)
>>> print(m_idnt)
[[ 1.  0. 0.]
[ 0.  1. 0.]
[ 0.  0. 1.]]

Нулевая матрица

У нулевой матрицы все элементы равны нулю.

\(Z=\begin{pmatrix}0&0&…&0\\0&0&…&0\\…&…&…&…\\0&0&…&0\end{pmatrix}\)

Пример того, как создать такую матрицу с использованием списков, мы приводить не будем, он делается по аналогии с предыдущим разделом. Что касается Numpy, то в составе этой библиотеки есть функция zeros(), которая создает нужную нам матрицу.

>>> m_zeros = np.zeros((3, 3))
>>> print(m_zeros)
[[ 0. 0. 0.]
[ 0. 0. 0.]
[ 0. 0. 0.]]

В качестве параметра функции zeros() передается размерность требуемой матрицы в виде кортежа из двух элементов, первый из которых – число строк, второй – столбцов. Если функции zeros() передать в качестве аргумента число, то будет построен нулевой вектор-строка, это мы делали в параграфе, посвященном векторам.

Задание матрицы в общем виде

Если у вас уже есть данные о содержимом матрицы, то создать ее можно используя списки Python или функцию matrix() из библиотеки Numpy.

>>> m_mx = np.matrix('1 2 3; 4 5 6')
>>> print(m_mx)
[[1 2 3]
[4 5 6]]

Если же вы хотите создать матрицу заданного размера с произвольным содержимым, чтобы потом ее заполнить, проще всего для того использовать функцию zeros(), которая создаст матрицу заданного размера, заполненную нулями.

>>> m_var = np.zeros((2, 5))
>>> print(m_var)
[[ 0. 0. 0. 0. 0.]
[ 0. 0. 0. 0. 0.]]

P.S.

Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта. Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.
Книга: Линейная алгебра на Python
Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas.  Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.
Книга: Pandas. Работа с данными

Поделиться
Share on VK
VK
Tweet about this on Twitter
Twitter
Share on Facebook
Facebook

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *